Hulio Sarcaleash Richan Santoso ~ System Digital

Pengertian Gerbang Logika Dan Aljabar Booelan ~

Gerbang Logika atau dalam bahasa Inggris disebut dengan   Logic Gate adalah dasar pembentuk Sistem Elektronika Digital yang berfungsi untuk mengubah satu atau beberapa Input (masukan) menjadi sebuah sinyal Output (Keluaran) Logis. Gerbang Logika berdasarkan sistem bilangan biner yaitu bilangan yang hanya memiliki 2 kode simbol yakni  0  dan  1  dengan menggunakan Teori Aljabar Boolean.        Gerbang Logika yang diterapkan dalam Sistem Elektronika Digital pada penggunaan Komponen-komponen Elektronika seperti Integrated Circuit (IC), Dioda, Transistor, Relay, Optik maupun Elemen Mekanikal.

Jenis-jenis Gerbang Logika Dasar dan Simbolnya

Terdapat 7 jenis Gerbang Logika Dasar yang membentuk sebuah Sistem Elektronika Digital, yaitu: 

1. Gerbang DAN
2. Gerbang OR
3. Gerbang TIDAK
4. Gerbang NAND
5. Gerbang NOR
6. Gerbang X-OR (Eksklusif OR)
7. Gerbang X-NOR (Exlusive NOR)

Tabel yang berisikan kombinasi-kombinasi Input Variabel (Masukan) yang menghasilkan Output (Keluaran) Logis disebut dengan  “Tabel Kebenaran”  atau  “Tabel Kebenaran”. Input dan Output pada Gerbang Logika hanya memiliki 2 level. Tingkat kedua tersebut pada umumnya dapat dilambangkan dengan:

• TINGGI (tinggi) dan RENDAH (rendah)
• BENAR (benar) dan SALAH (salah)
• ON (Hidup) dan OFF (Mati)
• 1 dan 0

Contoh Penerapannya ke dalam Rangkaian Elektronika yang memakai Transistor TTL (Transistor-transistor Logic), maka 0V dalam Rangkaian akan diasumsikan sebagai “LOW” atau “0” sedangkan 5V akan diasumsikan sebagai “HIGH” atau “1”. Berikut ini adalah Penjelasan singkat mengenai 7 jenis Gerbang Logika Dasar beserta Simbol dan Tabel Kebenarannya.

Gerbang AND (AND Gate)

Gerbang DAN memerlukan 2 atau lebih Masukan (Input) untuk menghasilkan hanya 1 Keluaran (Output). Gerbang AND akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 1 jika semua masukan (Input) bernilai Logika 1 dan akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 0 jika salah satu dari masukan (Input) bernilai Logika 0. Simbol yang menandakan Operasi Gerbang Logika AND adalah tanda titik (“.”) Atau tidak memakai tanda sama sekali. Contohnya: Z = XY atau Z = XY.

Simbol dan Tabel Kebenaran Gerbang AND (Gerbang AND)

Gerbang OR (OR Gate)

Gerbang OR memerlukan 2 atau lebih Masukan (Input) untuk menghasilkan hanya 1 Keluaran (Output). Gerbang OR akan menghasilkan Keluaran (Output) 1 jika salah satu dari Masukan (Input) harus bernilai Logika 1 dan jika ingin menghasilkan Keluaran (Output) Logika 0, maka semua Masukan (Input) harus bernilai Logika 0.  Simbol yang menandakan Operasi Logika OR adalah tanda Plus (“+”). Contohnya: Z = X + Y.

Simbol dan Tabel Kebenaran Gerbang OR (OR Gate)

Gerbang BUKAN (BUKAN Gerbang)

Gerbang TIDAK hanya memerlukan sebuah Masukan (Input) untuk menghasilkan hanya 1 Keluaran (Output). Gerbang NOT disebut juga dengan Inverter (Pembalik) karena menghasilkan Keluaran (Output) yang berlawanan (kebalikan) dengan Masukan atau Inputnya. Berarti jika kita ingin mendapatkan Keluaran (Output) dengan nilai Logika 0 maka Input atau Masukannya harus bernilai Logika 1. Gerbang NOT biasanya dilambangkan dengan simbol minus (“-“) di atas Variabel Inputnya.

Simbol dan Tabel Kebenaran Gerbang BUKAN (BUKAN Gerbang)

Gerbang NAND (Gerbang NAND)

Arti NAND adalah NOT AND atau BUKAN AND, Gerbang NAND merupakan kombinasi dari Gerbang AND dan Gerbang NOT yang menghasilkan kebalikan dari Keluaran (Output) Gerbang AND. Gerbang NAND akan menghasilkan Keluaran Logika 0 harus semua Masukan (Input) pada Logika 1 dan jika terdapat sebuah Input yang bernilai Logika 0 maka akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 1.

Simbol dan Tabel Kebenaran Gerbang NAND (NAND Gate)

Gerbang NOR (Gerbang NOR)

Arti NOR adalah NOT OR atau BUKAN OR, Gerbang NOR merupakan kombinasi dari Gerbang OR dan Gerbang NOT yang menghasilkan kebalikan dari Keluaran (Output) Gerbang OR. Gerbang NOR akan menghasilkan Keluaran Logika 0 jika salah satu dari Masukan (Input) bernilai Logika 1 dan jika ingin mendapatkan Keluaran Logika 1, maka semua Masukan (Input) harus bernilai Logika 0.

Simbol dan Tabel Kebenaran Gerbang NOR (NOR Gate) 

Gerbang X-OR (Gerbang X-OR)

X-OR adalah singkatan dari Exclusive OR yang terdiri dari 2 Masukan (Input) dan 1 Keluaran (Output) Logika. Gerbang X-OR akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 1 jika semua masukan-masukannya (Input) yang mempunyai nilai Logika yang berbeda. Jika nilai Logika Inputnya sama, maka akan memberikan hasil Keluaran Logika 0.

Simbol dan Tabel Kebenaran Gerbang X-OR (X-OR Gate)

Gerbang X-NOR (Gerbang X-NOR)

Seperti Gerbang X-OR, Gerban X-NOR juga terdiri dari 2 Masukan (Input) dan 1 Keluaran (Output). X-NOR adalah singkatan dari Exclusive NOR dan merupakan kombinasi dari Gerbang X-OR dan Gerbang NOT. Gerbang X-NOR akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 1 jika semua Masukan atau Inputnya bernilai Logika yang sama dan akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 0 jika semua Masukan atau Inputnya bernilai Logika yang berbeda. Hal ini merupakan kebalikan dari Gerbang X-OR (Exclusive OR).

Simbol dan Tabel Kebenaran Gerbang X-NOR (X-NOR Gate)

Pengertian Aljabar Boolean ~

Aljabar Boolean atau dalam bahasa Inggris disebut dengan Boolean Algebra adalah matematika yang digunakan untuk menganalisis dan menyederhanakan Gerbang Logika pada Rangkaian-rangkaian Digital Elektronika. Boolean pada kenyataan merupakan Tipe data yang hanya terdiri dari dua nilai yaitu “True” dan “False” atau “Tinggi” dan “Rendah” yang biasanya dilambangkan dengan angka “1” dan “0” pada Gerbang Logika atau bahasa pemrograman. Aljabar Boolean ini pertama kali dikenalkan oleh seorang Matematikawan yang berasal dari Inggris pada tahun 1854. Nama Boolean sendiri diambil dari nama penemunya yaitu George Boole.

Penamaan Aljabar Boolean sendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal Inggris bernama  George Boole . Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada pertengahan  abad ke-19 . Boolean adalah suatu data yang hanya mempunyai dua nilai. Yaitu benar atau salah (benar atau salah). Pada beberapa bahasa pemograman nilai benar yang bisa menyimpan 1 dan nilai teman.

Hukum Aljabar Boolean ~

Dengan menggunakan Hukum Aljabar Boolean ini, kita dapat mengurangi dan menyederhanakan Ekspresi Boolean yang kompleks sehingga dapat mengurangi jumlah Gerbang Logika yang diperlukan dalam rangkaian Digital Elektronika. Dibawah ini terdapat 6 tipe Hukum yang berkaitan dengan Hukum Aljabar Boolean.

Hukum Komutatif 

Hukum Komutatif menyatakan bahwa penukaran urutan variabel atau sinyal Input tidak akan berpengaruh terhadap Output Rangkaian Logika.

Contoh:

Perkalian (Gerbang Logika DAN)

XY = YX

Penjumlahan (Gerbang Logika OR)

X + Y = Y + X

Catatan: Pada penjumlahan dan perkalian, kita dapat menukarkan peringkat variabel atau dalam hal ini adalah sinyal Input, hasilnya akan tetap sama atau tidak akan mengubah keluarannya.

Hukum Asosiatif

Hukum Asosiatif pernyataan bahwa urutan perintah tidak akan berpengaruh terhadap Output Rangkaian Logika.

Contoh:

Perkalian (Gerbang Logika DAN)

W. (X. Y) = (W. X). Y

Penjumlahan (Gerbang Logika OR)

W + (X + Y) = (W + X) + Y

Catatan: Pada penjumlahan dan perkalian, kita dapat mengelompokan variabel dalam hal ini adalah urutan operasi logikanya, hasilnya akan tetap sama atau tidak akan mengubah keluarannya. Tidak peduli yang mana dihitung terlebih dahulu, hasilnya tetap akan sama. Tanda kurung hanya untuk mempermudah mengingat mana yang akan terlebih dahulu dilakukan.

Hukum Distributif

Hukum Distributif menyatakan bahwa variabel atau sinyal Input dapat disebarkan atau diubah urutan sinyalnya, perubahan tersebut tidak akan mempengaruhi Output Keluarannya.

Hukum DAN 

Disebut dengan Hukum AND karena pada hukum ini menggunakan Operasi Logika AND atau perkalian. Berikut ini contoh:

Hukum OR

Hukum ATAU menggunakn Operasi Logika ATAU atau Penjumlahan. Berikut ini adalah contoh:

Hukum Inversi

Hukum Inversi menggunakan Operasi Logika TIDAK. Hukum Inversi ini menyatakan jika terjadi Inversi ganda (kebalikan 2 kali) maka hasilnya akan kembali ke nilai yang dibangun.

Jadi, jika suatu masukan (input) diinversi (dibalik) maka akan diinversi. Namun jika diinversi sekali lagi, hasilnya akan kembali ke semula.

Mengapa gerbang NAND dan NOR disebut gerbang universal? Apa yang spesial dari dua gerbang ini?

Gerbang NAND dan NOR merupakan gerbang  universal , artinya hanya dengan menggunakan jenis gerbang NAND saja atau NOR saja dapat menggantikan fungsi dari 3 gerbang dasar yang lain (AND, OR, NOT). Multilevel  yaitu: dengan mengimplementasikan gerbang NAND atau NOR, akan ada banyak tingkat / tingkatan mulai dari sisi input sampai ke sisi output.

Keuntungan pemakaian NAND saja atau NOR saja dalam sebuah rangkaian digital adalah dapat memanfaatkan seluruh gerbang yang terdapat dalam sebuah IC, sehingga melindungi biaya dan tempat. Walaupun sebetulnya NAND dan NOR dapat dibentuk dengan menambahkan NOT diujung AND dan OR dalam prakteknya nanti gerbang NAND dan NOR ini dapat kita fungsikan untuk mengganti gerbang NOT, AND dan OR dengan menggunakan terori De Morgan. 

Penjelasan di atas terlihat bahwa gerbang NAND bisa kita jadikan sebagai gerbang NOT dengan cara melakukan penggabungan pada gerbang input NAND tesebut.

Bentuk modifikasi atau manipulasi dari gerbang NAND dan NOR mejadi gerbang logika dasar.

Uraian di atas dapat kita lihat bahwa ternyata gerbang NOR pun dapat kita jadikan sebagai gerbang NOT (Inverter Gate) dengan cara menggabungkan seluruh inputnya.

Pada penjelasan nomor 3 terlihat bahwa jika gerbang NAND pada outputnya kita sambungkan dengan gerbang NAND yang digabungkan inputnya, maka akan berfungsi sebagai gerbang AND. Sedangkan pada penjelasan no 4 terlihat jika pada output gerbang NOR kita sambungkan sebuah gerbang NOR yang inputnya digabungkan, maka prinsip kerjanya akan sama seperti gerbang OR. Berarti gerbang NAND bisa difungsikan sebagai gerbang AND dan gerbang NOR juga dapat difungsikan sebagai gerbang OR.

Pada penjelasan no 5 juga terlihat bahwa tidak hanya gerbang NAND saja yang bisa difungsikan sebagai gerbang AND, ternyata gerbang NOR pun bisa difungsikan sebagai gerbang AND dengan cara penyusunan seperti gambar di atas.

Pada penjelasan atau 6 juga terlihat bahwa gerbang NAND pun bisa juga dijadikan sebagai gerbang OR dengan cara penyusunan seperti gambar di atas. Untuk mempermudah kita dalam mengingatnya, baik baik kita lihat tabel ringkasan padananan gerbang NAND dan NOR berikut ini.

SISTEM DIGITAL PART 2

1. Apakah peran Gerbang Logika dan Aljabar Boolean dalam perkembangan Teknologi?

Peran Gerbang Logika sendiri, digunakan untuk merancang sistem digital yang dikendalikan oleh sistem masukan digital itu sendiri, dan mengeluarkan keluaran yang tergantung pada rangkaian Logika itu sendiri. 

Sedangkan Aljabar Boolean itu sendiri juga memiliki peran penting dalam perkembangan teknologi, khususnya komputer. Pada masa sekarang, aspek-aspek yang berhubungan dengan komputer bisa dibilang, berhubungan erat dengan rangkaian digital dan rancangan logika yang dibuat manusia saat ini.

2. 3 Cara penyederhanaan dalam rangkaian persamaan Logika.

1. Penyederhanaan secara Aljabar.

2. Peta Karnaugh.

3. Tabulasi (Quine McKluskey)

3. Cari tahu Sebanyak-banyaknya tentang bentuk Kanokik dalam Aljabar Boolean. Jumlah-Produk dan Hasil-Jumlah.

Bentuk Kanokik dalam fungsi boolean, digambarkan dalam bentuk SOP atau POS dengan minterm / maxterm. Kanokik memiliki literal yang lengkap, sedangkan bentuk baku dari funsi boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP / POS dengan minterm / maxterm mempunyai literal yang tidak lengkap. Untuk secara lengkap memahami SOP, diistilahkan dengan jumlah dari hasil perkalian. Sedangkan POS sendiri, diistilahkan dengan perkalian dari hasil penjumlahan.

Untuk dapar memperoeh ekpresi boolean yang harus diperhatikan hanyalah, "output = 1". Suku bentuk SOP disebut dengan Minterm, sedang untuk mendapatkan bentuk POS / maxterm, yang harus diperhatikan hanyalah "keluaran nilai 0".

Beberapa bentuk kanokik fungsi boolean 3 masukan variabel:

Contoh:

Nyatakan fungsi boolean Y (x, y, z) = (x + y-) = (y- + z), dalam bentuk kanokik SOP dan POS!

Penyelesaian:

* Diambil suku (x + y-) yang artinya jika nilai 0 1-, maka Y = 0 POS.

* Diambil suku (y- + z) yang artinya jika nilai masukan -1 0, maka Y = 0 POS.

Apabila  f  (x, y, z) =  f´  (1, 2, 5, 7) dan  f ' adalah fungsi komplemen dari  f , maka  f'  (x, y, z) =  f´  (0, 3, 4, 6) = y 0  + y 3  + y 4  + y 6 . Dengan menggunakan hukum De Morgan, maka diperoleh fungsi f dalam bentuk POS sebagai berikut.

Bentuk Baku

Bentuk baku fungsi boolean 3 variabel:

4. Contoh soal dan jawaban Sum-of-product dan Product-of-sum dalam bentuk penyelesaian Kanokik.

Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP

| x | y | z | f (x, y, z) |

| --- | --- | --- | ------------ |

| 0 | 0 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 | 1 |

| 0 | 1 | 0 | 0 |

| 0 | 1 | 1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 | 1 |

| 1 | 0 | 1 | 0 |

| 1 | 1 | 0 | 0 |

| 1 | 1 | 1 | 1 |

penyelesaian:

1. SOP

Kombinasi nilai-nilai yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111

Fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah:

f (x, y, z) = x'y'z + xy'z '+ xyz

Atau dengan menggunakan lambang (minterm):

f (x, y, z) = m1 + m4 + m7 = Σ (1, 4, 7)

Ilustrasi

| x | y | z | f (x, y, z) |

| --- | --- | --- | ------------ |

| 0 | 0 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 | 1 |

| 0 | 1 | 0 | 0 |

| 0 | 1 | 1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 | 1 |

| 1 | 0 | 1 | 0 |

| 1 | 1 | 0 | 0 |

| 1 | 1 | 1 | 1 |

2. POS

Kombinasi nilai-nilai yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010, 011, 101, dan 110

Fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah:

f (x, y, z) = (x + y + z) (x + y '+ z) (x + y' + z ')

                = (x '+ y + z') (x '+ y' + z)

Atau dengan menggunakan lambang (maxterm):

f (x, y, z) = M0 M2 M3 M5 M6 = Π (0, 2, 3, 5, 6)

Ilustrasi:

| x | y | z | f(x, y, z) |

|---|---|---|------------|

| 0 | 0 | 0 | 0          |

| 0 | 0 | 1 | 1          |

| 0 | 1 | 0 | 0          |

| 0 | 1 | 1 | 0          |

| 1 | 0 | 0 | 1          |

| 1 | 0 | 1 | 0          |

| 1 | 1 | 0 | 0          |

| 1 | 1 | 1 | 1          |